返回列表 发新帖

独孤信印与秦汉酒骰的几何学

[复制链接]

2万

主题

2万

帖子

6万

积分

管理员

Rank: 9Rank: 9Rank: 9

积分
63665
发表于 2020-5-22 22:32:56  | 显示全部楼层 | 阅读模式


意大利画家Jacopo de' Barbari的《帕乔利肖像》(1495年),现藏那不勒斯卡波迪蒙特宫

撰文 | 刘 钝

● ● ●

从独孤信及其印谈起

独孤是南北朝时代北方鲜卑族大姓,金庸小说中有个不曾露脸的武林高手就叫独孤求败,不过今天这里介绍的却是历史上的一个真实人物,他就是先后历经西魏(期间还短暂仕南梁)和北周的大将军独孤信(公元502-557年)。独孤信原名如顺,云中(今内蒙古托克托县)人,本是西魏八柱国之一。这些“柱国”有多厉害,说出其中的三个人就知道了:第一位是宇文泰,八柱国之首,西魏的实际统治者,其子宇文觉为北周开国皇帝;李虎,其孙李渊是唐朝开国皇帝;李弼,隋末天下大乱时瓦岗军首领李密乃是他的曾孙。

再说独孤信,史称“美容仪,善骑射”,“好自修饰,服章有殊于众,军中号为独孤郎”,某日傍晚歪戴帽子纵马入城,“诘旦,而吏民有戴帽者,咸慕信而侧帽焉”。清初那个唯美主义诗人纳兰性德就把自己的首部词集取名为《侧帽集》。独孤信的武功也好生了得,曾经单枪匹马生擒敌酋。由于战功卓著,先后任别将、散骑侍郎、郡守、大都督、武卫将军、骠骑大将军、刺史、河内郡公、尚书令、大司马、太保、大宗伯等要职,最后晋封卫国公。

独孤信共生有六子七女,六子俱任官并封侯封伯,七女都嫁了当时的权贵,其中三位成了皇后(或皇太后):长女嫁给北周第二位皇帝宇文毓,是为明敬皇后;四女嫁给李渊的父亲李昺,后来被李渊追尊为元贞皇后;七女嫁给隋朝开国皇帝杨坚,辅佐夫君推行“开皇之治”,这就是以崇俭、笃信佛教而出名的独孤伽罗皇后。独孤信一身兼三朝皇帝的岳父,被网友称为“史上最牛老丈人”。

北周初年,因介入宇文家族的帝位继承人之争,独孤信被权臣宇文护逼迫自尽,时年五十五岁。1953年,独孤信墓在陕西咸阳市底张湾出土,形制非常简朴,推测是迫于形势草葬所致。墓志铭文16行共220字,记述了墓主的姓氏、籍贯、家世、卒年、葬日、葬地,以及夫人和三个儿子的名字。今存国家博物馆。

1981年,陕西省旬阳县一个叫宋清的中学生,在上学路上捡到一枚规则多面体形状的印章,由煤精石磨制而成。仔细观察,印章共有48条基本等长(约2厘米)的棱、18个正方形面和8个正三角形面,其中14个正方形面上刻着楷书阴文,分别是“臣信上疏”、“臣信上章”、“臣信上表”、“臣信启事”、“大司马印”、“大都督印”、“刺史之印”、“柱国之印”、“独孤信白书”、“信白笺”、“信启事”、“耶敕”、“令”、“密”,集官印、上书专印、日常文书印于一身,在历代印章中还未见过类似物件。现为陕西历史博物馆收藏。

独孤信于西魏大统十六年(公元550年)奉命出讨东魏,还朝后迁尚书令、拜大司马,而印文中已含“大司马印”,可以断定此印制作的时间最早不过那一年。其时独孤信声威日隆,不但身为八柱国之一,长女、四女也已分别嫁入豪门宇文泰家族、李虎家族,可谓一时之盛。

这枚印章的形状是一种半正多面体。半正多面体的表面是两种或两种以上的全等正多边形,其棱长则完全相等。共有13种凸的半正多面体,据说是公元前三世纪阿基米德最早发现的,所以它们也被称作“阿基米德多面体”(Archimedean polyhedra)。此说来自三世纪亚历山大里亚的帕普士,然而阿基米德现存著作中没有这方面的内容。现实生活中也极少见到这种形状的器物,15世纪末意大利画家德巴巴里(Jacopo de' Barbari)在《帕乔利肖像》(1495)中画了一个悬在空中的水晶多面体,其构造与独孤信印完全一致,有人称其为26面体,更准确点应该是48等边半正多面体。



图1 独孤信印



图2 《帕乔利肖像》中的水晶多面体

古代多面体酒骰及其他器物

1968年,河北满城发掘出西汉中山靖王刘胜及其妻子窦綰之墓,除了金缕玉衣、长信宫灯等众所周知的珍贵文物之外,后者墓室还出土了一件极为精美的酒骰,《满城汉墓发掘报告》称:

铜骰一件(2:3064),与“宫中行乐钱”同出。通体错金银。共十八面,分别错出篆书或隶书“一”至“十六”以及“酒来”和“骄”字(后二面对称)。“一、三、七、十、骄、酒来”等六面为错金地错银一周,另十二面为嵌银地错金一周。在各面孔隙间,用金丝错出三角卷云纹,中心镶嵌绿松石或红玛瑙。骰径2.2厘米。

报告没有提及“在各面孔隙间,用金丝错出三角卷云纹”的个数,实际上共有8个,因此这个酒骰共有26个面,与独孤信印几何同构;只要把错有数字与文字的18个面视为正方形,把错有三角卷云纹的8个面视为正三角形,就是一个标准的48等边半正多面体。



图3 窦綰墓出土错金银铜骰



图4 窦綰墓出土错金银铜骰线图[李零2016,454页]

李零新著《万变》中有一节专门讨论古代酒骰,内中提到具有相似结构的文物,目前已知的至少还有四件,它们的形制基本相同,而且都是西汉年间物品。他还指出:“这种赌具,有四面体(每面为三角形)、六面体(每面为正方形)和增加切削面因而近似球形的多面体。……出土发现,战国秦汉的骰子多作十四面体或二十六面体,属球形多面体。增加切削面,目的是增加选择的机遇。”

其他四件26面体西汉骰子分别是:(1)临淄大武齐王墓随葬坑出土西汉铜骰,1978年在山东淄博大武乡窝托村齐王墓随葬坑5号坑出土,共两件,分别标数字“一”至“十六”以及“骄”、“畏妻”字;(2)山东省博物馆藏西汉铜骰,旧属清代金石学家、山东潍县(今潍坊市)人陈介祺;(3)海外收藏的错金银西汉铜骰,此为麦肯齐等编著的《亚洲游戏:竞争的艺术》(Colin Mackenzie & Irving Finkel.2004. Asian Games: The Art of Contest,New York: Asian Society.p.43)一书所录,与满城汉墓所出最为相似;(4)湖南长沙马王堆西汉长沙相利仓之子墓随葬漆骰,1973年出土,所出漆木盒内还有博局、博棋、博筹等物。









图5 其他四件西汉骰子(上起:上述编号1-4)

作为一位人文学者,李零指出以上五件酒骰形制相同并联系到独孤信印,其观察是十分精准的;从文物考古的角度来看,说这五件西汉酒骰“属球形多面体”也不为错。至于二十六面体怎样切削,不是他关注的要点。《万变》一书给出的两幅骰子表面展开图也只是示意图,图6中的诸圆面与正三角形面无法拼出多面体来。

从数学上讲,以上五件酒骰皆与48等边半正多面体同构,其表面展开图应如图7所示。



图6 窦綰墓出土铜骰表面展开图[李零2016,454页]



图7 窦綰墓出土铜骰表面展开图[刘钝 2018]

除了上述独孤信印和西汉酒骰外,笔者还注意到另一件呈48等边半正多面体的古代器物。 2016年11月,笔者在中国科技大学博物馆参观古代玉器特展时,发现展品中有一枚玉珠,有关说明称:

棱面珠:白色,灯笼形,通天孔,另一面打孔为方形开口,应为便于安装固定之需。周身起愣若干,甚为罕见。

其来源未明,据云系唐代物品,与一玛瑙质地的马球置于一处;其形制与独孤信印完全一样而近似于上论西汉酒骰,是一个标准的48等边半正多面体。



图8 唐代48等边半正多面体玉珠

梅文鼎与孔林宗的半正多面体工作

在群论诞生以前,从几何结构上对半正多面体进行研究的不多。根据英国著名的希腊数学史家希斯(Thomas Little Heath, 1861-1960),保存在梵蒂冈图书馆的一份帕普士手稿的评注片段,包含一种通过正多面体截面获得某些半正多面体的方法。德国天文学家刻普勒在《宇宙的和谐》(Harmonices Mundi,1619)中也提到了这种方法。此外,意大利数学家阿尔伯蒂、帕乔利也研究过半正多面体,后者的《神圣比例》(Divina proportione,1509)一书包括若干半正多面体框架图,据悉出自大画家达芬奇之手。

清代康熙年间数学家梅文鼎通过明末来华传教士编译的《测量全义》等书,获知正多面体的零散知识,他又自撰《几何补编》对有关问题进行考察,内中涉及两种半正多面体,分别命名为“方灯”(24等边半正多面体)和“圆灯”(60等边半正多面体):前者由正6面体(或正8面体)切割而来,后者由正12面体(或正20面体)切割而来,方法都是经由各棱的中点作截面,如图9、图10所示。



图9 梅文鼎之“方灯”[刘钝 1990,196页]



图10 梅文鼎之“圆灯”[刘钝 1990,196页]

梅文鼎在该书自序中称:“壬申(1692)春月,偶见馆童屈篾为灯,诧其为有法之形。”说明他是由儿童戏耍的灯笼之构造获得灵感,从而研究这两种规则立体的。“方灯”在中国、日本都比较常见,制法也相对简单。1984年2月16日元宵节夜,笔者在泉州开元寺观赏灯会,亦曾亲睹一具“圆灯”和众多“方灯”。可见梅文鼎“馆童屈篾为灯”之说不是虚构。

孔林宗是梅文鼎的朋友,对数学也有浓厚兴趣。在梅氏两种“灯体”的启发下,他又提出五种多面体,皆由正4、正6或正8面体切割而成。梅文鼎刻书时将他的结论作为“附记”收入《几何补编》,其文为:

四等面体,又可变为十八等边体:为六边之面四,为三边之面四,凡十二角。

(四等面体),又可变为二十四等面体:面皆三边,凸边二十四,凹边十二,十字之交六,凡八角如蒺藜形。

六等面体,又可变三十六等边体:为八边之面六,为三边之面八,凡二十四角。

八等面体,亦可变三十六等边体:为六边之面八,为四边之面六,凡二十四角。

(六等面体),又可变为四十八等边体:为四边之面十八,为三边之面八,凡二十四角。

除第二种之外,其余四种都是半正多面体,即:

(1)18等边半正多面体,由正4面体切割而成:共有4个正六边形面和4个正三角形面,18条棱,12个顶点。

(3)36等边半正多面体,由正6(或8)面体切割而成:共有6个正八边形面和8个正三角形面,36条棱,24个顶点。

(4)36等边半正多面体(又一种),由正8(或6)面体切割而成:共有8个正六边形面和6个正四边形面,36条棱,24个顶点。

(5)48等边半正多面体,由正6(或8)面体切割而成:共有18个正四边形面和8个正三角形面,48条棱,24个顶点。这就是独孤信印和本文讨论的西汉酒骰以及唐代玉珠的理想结构。

孔林宗提出的第二种多面体不是凸多面体,因此不满足欧拉定理。它是两个正交的正4面体之公共部分:共有24个凸的正三角形面和12个凹的正三角形面,24条棱可组成6个正交十字,8个顶点,如同蒺藜一般。蒺藜本是一种草本植物,明代兵书载有多种以蒺藜命名的冷、热兵器和路障,多数是正多面体的变形。



图11 孔林宗提出的蒺藜形多面体



图12 《武经总要》中的铁蒺藜图

48等边半正多面体作图法

孔林宗虽然明白48等边半正多面体可由立方体(或正8面体)切割而成,但并未提出具体的作法。中国古代的工匠也是凭着经验和对平衡对称的追求,制作出酒骰、信印等物来的。笔者在这里提供一个精确的几何作图法。

将立方体连同其内含的48等边半正多面体置于立体直角坐标系内,如图13。关键是在立方的六个面上作出半正多面体的诸顶点A、B等。

设立方棱长为1,半正多面体棱长为a,在图13中,有



图14表示立方体上B点所在的平面,以正方形顶点为圆心、对角线之半为半径作圆,交正方形之边于C、E等点,过C、E等点作边的垂线,垂线的交点B1、B2等就是所求48等边半正多面体的顶点。这是因为





图13 直角坐标系中的立方与48等边半正多面体[刘钝 2018]



图14 诸顶点B的几何作图法[刘钝 2018]

附录 13种半正多面体



上图采自《苏联大百科全书》(Большая советская энциклопедия)第3版第27卷,其中P2、P7分别为梅文鼎讨论的“方灯”和“圆灯”,P1、P3、P4、P5分别为孔林宗提出的第一、四、三、五种多面体,最后这一种P5也是本文讨论的独孤信印等器物的几何同构。


参考文献

1、Heath, Thomas L. 1921. A History of Greek Mathematics. 2 vols. Oxford: Oxford University Press.

2、李零.2016.说骰——从满城汉墓出土的酒骰和“宫中行乐钱”说起.万变.北京:三联书店.455-463.

3、刘钝. 1990. 梅文鼎在几何学领域中的若干贡献.梅荣照主编.明清数学史论文集.南京:江苏教育出版社.182-218.

4、王彬、张沛.2001.浅析独孤信煤精组印的特点及印文.陕西历史博物馆馆刊.第8辑. 西安:三秦出版社.292-296页.

5、王长丰主编.2016. 厚德载物:200件中国古代玉器.上海:交通大学出版社.107 .

6、魏子元.2016. 侧帽风流想象中.源流运动公众号. 北京大学考古文博学院.10月27日.

7、张沛.1985.旬阳出土的独孤信多面体煤精组印.文博.第2期. 95-96.

8、张艳鸽.2014.南北朝、隋唐时期独孤家族兴衰探析——以独孤信为例. 荆楚学刊.第3期. 24-28.

9、中国社会科学院考古研究所、河北省文物管理处.1980.满城汉墓发掘报告.北京:文物出版社.271-273.

10、[唐]李延寿.北史.卷六十一.列传四十九.独孤信传.

11、[唐]令狐德棻.周书.卷十六.列传八.独孤信传.

12、[清]梅文鼎. 几何补编. 梅氏丛书辑要. 卷二十五至卷二十八. 乾隆二十四年承学堂刊本.

原载《数学文化》2018年第9卷第1期

制版编辑 | 皮皮鱼

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?立即注册

x
回复

使用道具 举报

发表回复

您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则

足浴按摩
杭州桑拿
桑拿论坛
珠海桑拿
桑拿会所
福州桑拿
厦门桑拿
广东桑拿
桑拿技师
温州桑拿
海南桑拿
888桑拿
厚街桑拿
莞式36式
泰式按摩
按摩女郎
  • 广州桑拿网
  • 杭州桑拿按摩,狼友桑拿论坛
  • 莞式按摩
快速回复 返回顶部 返回列表